无限在现实中存在吗？

正文作家无穷的生存 ，Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

翻译作家，雄风掠原野，哆嗒数学网翻译构成员无穷的生存 。

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即使不妨达到世界的边际，咱们会看到什么呢？这个题目很难想像，所以咱们很简单得出如许的论断：世界没有边境，以是它必然是无穷的无穷的生存 。然而，这并不是一个必定的论断。有些货色固然是有限的，但它们却没有边境，比方球面。它具备有限的表面积，但当咱们在这个球面上走的功夫，却长久也不大概遇到边境。世界毕竟是有限的仍旧无穷的，这个题目暂时尚无定论，而且这两种大概性都有相映的数学模子扶助。更普遍地，世界中能否生存任何无穷的量，这是一个很深沉的题目。2013年四月份份，形而上学家、世界学家和物道学家们齐聚剑桥大学，对准这一题目举行计划、交谈。这次聚会是世界学形而上学的系列聚会之一。

咱们无需畏缩的无穷

生人很早就发端接洽无穷以及它与实际的联系无穷的生存 。“物道学上对无穷的接洽起始于亚里士多德”，剑桥大学世界学家约翰・D・巴罗（John D · Barrow）引见说，“亚里士多德对两种典型的无穷举行了明显的分别。他称个中一种为潜伏的无穷，而且特殊痛快承诺这种无穷生存于对寰球的刻画中。这就像一张长久到不了结果一条龙的清单。天然数是一个很好的例子：1，2，3，4，5 …… ，如许，这张清单不妨从来列下来 —— 它是无穷的。但你长久也没辙逼近到这个无穷。世界大概有无穷的尺寸，它大概有无穷长久的往日，它大概必定有无穷长的寿命。但那些都是潜伏的无穷，以是没需要对她们爆发畏缩。潜伏的无穷更像是‘没有控制’的另一种讲法 —— 它们是没有边境的，就像那张清单上的数。”

纵然大普遍人很痛快接收“潜伏的无穷”的生存，咱们仍旧不领会它能否真的生存无穷的生存 。“当咱们望向世界深处，咱们的眼光所及利害常有限的。由于世界仍旧生存了 140 亿年，”开普敦大学的世界学家乔治・埃利斯（George Ellis）证明道，“世界中最快的速率是光速，以是咱们最多只能看到 140 亿光年远的场合，它略微有点远，但基础上即是如许。咱们实足没有时机看到无穷远的场合。那就像从大地上的一座灯塔向外望去，咱们不妨看到地平线，但却没辙看得更远。在地球上咱们不妨做铁鸟去到地球另一面。然而在世界中，它的尺寸简直是太大了，及至于咱们没辙像在地球外表上那么挪动。咱们卡在了咱们地方的这个点上，以是只不妨从这个点望向世界，涉及到有限远的场合。”

但纵然是埃利斯提到的有限的往日，世界所体验的 140 亿年更像是一种修辞，而非一种决定的讲法无穷的生存 。咱们领会世界此刻在伸展，以是即使上溯它伸展的汗青，咱们会达到一个功夫上的特出点 —— 大爆裂。咱们觉得这个点是世界的发端。然而，物理知识界公认的广义对立论和量子力学都不实用于这一功夫。暂时有一系列的表面不妨用来刻画这一功夫的状况，但没有哪一个是坚信无疑的。“少许表面认世界不生存发端，而另少许供认它的生存”，埃利斯说，“基础上咱们是不过在做有按照的估计。咱们没辙发展不妨考证那些表面的试验，由于没辙赢得充满大的能量。”

纵然刻画大爆裂其时的情景的胜过了暂时表面的范畴，但仍旧有一种刻画大爆裂之后很短功夫的情景的模子被普遍接收 —— 伸展表面无穷的生存 。加州大学圣克鲁斯分校的熏陶安东尼・阿吉雷（Anthony Aguirre）觉得，它不妨报告咱们少许对于世界尺寸的消息。“伸展表面觉得，在特殊早期的功夫，世界按指数情势举行伸展，以是它在特殊短的功夫内伸展了大约 2的100次方倍。在该表面接洽的早期，人们创造，伸展表面给出了一系列表示性的猜测。个中一局部仍旧被证明，另一局部仍旧须要试验举行考证。这使得咱们对伸展表面越发降服，但它也有特殊风趣的副效率。”

个中的一个副效率是，在世界的各别地区中，伸展的速度大概是各别的无穷的生存 。在有些地区，指数伸展很快就遏止了，爆发了一片可察看的世界，比方咱们所处的地区。在其余的地区，因为世界构成的空间变革，伸展会长久举行下来。咱们具有无穷的时间和空间，并不是由于咱们假准时空是无穷的，而是由于咱们觉得有一个进程天然地引导了时间和空间的无量限，”阿吉雷说，“我觉得那是一个特殊风趣的辨别，由于咱们不妨从其余道路检验和测定这一进程”。即使检验和测定的截止不妨让咱们断定这即是世界的究竟，那么时间和空间的无穷个性即是一个自洽表面的推广。

风趣的是，关系表面也表示时间和空间的尺寸还依附于咱们的查看场所无穷的生存 。在广义对立论中，爱因斯坦报告咱们，时间和空间本来是密不行分的，以是才有“时间和空间”这个词 （spacetime）。即使咱们想要独立地说起功夫大概空间，就必需从数学上把它们领会开。“纵然是像‘空间是有限的仍旧无穷的’如许的题目，也依附于咱们怎样独立地设置功夫和空间”，阿吉雷证明说，“只生存‘时间和空间’，这是爱因斯坦报告咱们的。咱们不妨沿用很多办法把它领会成功夫和空间。它们从基础上去说都是灵验的，而且对准大肆一个咱们商量的一定试验都能给出沟通的截止。但它们仍有着各别的物理意旨，而且对于某一一定的手段而言，少许领会比另少许更领会更为简单。”

“即使真的生存一个无穷的‘时间和空间’，那么总会生存少许本领让咱们不妨把它领会开，使得世界看上去是有限的，同声它正在伸展无穷的生存 。它大概长久伸展下来，最后形成无穷大，然而在任何一个功夫点上，它仍旧有限的。同声，咱们还不妨把这同一个‘时间和空间’按另一种办法领会，使得它在任何一个功夫具备无穷的空间。如许它即是一个无穷的、伸展的世界。” 在一个伸展的世界中，即使伸展遏止，那么就生存一种最天然的领会时间和空间的办法，这种办法使得世界逼近于一种平均的状况（即咱们所说的平整的世界），并给出一个空间上无穷的世界。“伸展表面很天然地引导一个平均和无穷的世界。如许的世界会衍化出咱们所看到的货色。即使咱们不妨创造表示性的证明，表明如许一个充分的、多层面包车型的士、风趣的无穷世界，这真的是太好了。”

实简直在的无穷

世界的尺寸能否是无穷的，这一题目波及到亚里士多德提到的一种无穷 —— 潜伏的无穷无穷的生存 。这种无穷咱们不妨设想获得，但没辙真实地看到。亚里士多德提到的另一种无穷是“实简直在的无穷”。在接下来的计划中，咱们商量的情景是，限制化的货色、咱们不妨实本质际丈量的货色，形成无穷。简直无穷爆发的一种情景是黑洞里面。当一个大品质行星向它里面坍缩，而且没有什么不妨遏止它时，黑洞就产生了。关系表面表白，这会引导在某一点上爆发无穷的品质密度。如许的无穷在世界中生存吗？

“黑洞并不确定是个液体实业，它不过世界中的一种面”，巴罗证明道，“即使咱们跨过这个面加入黑洞里面，就再也出不来了无穷的生存 。由于解脱黑洞的吸力须要比光还快的速率。（黑洞的产生）本质上即是第一次全国代表大会堆货色坍缩在一道，它们的密度变得越来越大。最后在它们范围会产生一种面，咱们称为‘视界’。当咱们加入到一个宏大黑洞（比方十分于太阳品质 10 亿倍的黑洞）的视界里面，情景本来就和这间房子里差不离，没有什么更加的场合。但即使你想试着归来大概摆脱，你会创造你做不到。黑洞重心的密度会连接无穷制地变大。在黑洞的表面，咱们看得见内里的任何变革，它被湮没起来了，它的功效被视界分隔了，视界里面的黑洞没辙感化到它表面的世界。”

告白

无量的画廊--数学家怎样推敲无量

作家：[美]理查德·伊万·施瓦茨

当当

“很久之前，罗杰・彭罗斯（Roger Penrose）提出了一个被称为‘世界查看轨制’的估计无穷的生存 。该估计觉得，即使奇点大概无穷大真的在世界中生存，而且没有什么货色不妨遏止它们，那么它们也将长久被困在视界之内。并不生存人们称之为‘裸奇点’的货色，以是并不生存任何不妨感化视界除外的咱们的世界的无穷。这一估计仍旧在很多景象下获得表明，但隔绝一致表明还差很远。这是一个特殊艰巨的数学题目。”

大概生存于咱们的寰球之中的另一种无穷是无穷小，大概说是，无穷可分无穷的生存 。即使咱们有一把无比精准的尺子和一支铅笔，能否不妨将一条曲线段长久地划分红更小的线段，获得咱们想要的尽大概小的线段？

埃利斯觉得如许的办法特殊差错无穷的生存 。“即使咱们把手指头划分 10 厘米，而且真的觉得手指头之间有一条实简直在的点构成的线，那么在手指头之间就会有多数个点。那实足是不真实际的。我觉得简直无穷不过一个数学观念，而非与物理寰球对立应。理查德・费恩曼（Richard Feynman）说，即使他必需留住点什么给年青一代的话，他会留住一句话，‘物资是由亚原子构成的’。咱们有来由断定，对于时间和空间来说也生存一致的讲法 —— 时间和空间是由最基础的‘时间和空间的亚原子’构成的。即使咱们把手指头分割开，手指头之间真实会有洪量的动作物理实业的点生存，但它们并不是无穷的，也不是不行数的”

即使时间和空间是由不行分的最小单位形成，那就必然生存一个最小的长度标准无穷的生存 。物道学表面真实扶助这个看法。那些表面将这一比任何物体都小的长度称为普朗克长度。它的尺寸大约是10的-35次方：这个数的少量点反面有 34 个 0。新颖察看仪器没辙到达如许小的辨别率精度。而且从表面上去说，纵然咱们有不妨到达这一精度的仪器，咱们也没辙丈量任何尺寸小于普朗克长度的物体。

世界热狗

埃利斯对百般无穷举行了要害辨别无穷的生存 。一上面，生存数学观念上的无穷，比方，曲线是无穷可分的；另一上面，物理观念上的无穷关心的是天然界中生存或不生存的如实的数目或局面。但本质上再有一种咱们大概最熟习的无穷。

“此刻咱们要辨别数学意旨上的无穷、物理意旨上的无穷，和神学家、形而上学家辩论的超验的无穷”，巴罗说道，“这种超验形而上学是大街上的普遍人特殊熟习的无穷的生存 。即使你向她们提到无穷，她们会觉得她们领会你在说什么。那就像是神奇主义者对热狗采购员说的：给我做一个包括十足的热狗（双关含意是让我与十足融洽，原句为 make me one with everything）。”

“在很多宗教保守中，‘十足实物的总和’大概与天主大概世界的最终生存有着沟通的含意无穷的生存 。这与物道学家和数学家试图去向理的那种越发简直的实物各别。当咱们回忆思维史、数学史和物道学史时，会创造，有人崇奉数学上的无穷；有人崇奉物道学上的无穷；有人质疑任何其余情势的先验无穷。将那些对各别典型无穷的崇奉与质疑举行拉拢，咱们获得了 2³=8 种各别的采用。”

对无穷的看法真实生存分别无穷的生存 。巴罗和阿吉雷都很痛快接收数学意旨上的无穷，但都没将物理意旨上的无穷拒之门外。“兴盛一种包括‘无穷’这一致念的适用表面是实足没有题目的”，阿吉雷证明说，“动作有限的个别，咱们只能领会到所有世界中有限的一局部。但规则上，我找不出任何来由来控制世界该当是有限仍旧无穷的。”

另一上面，埃利斯并不断定物理意旨上的无穷的生存无穷的生存 。他指出在与物理相关的数学论据中运用无穷常会带来潜伏的题目。他提到了数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert）的一个思维试验：假设咱们有一座有多数间屋子的堆栈，而且这个堆栈住满了宾客。然而即使咱们请住 1 号屋子的宾客换到 2 号屋子，2 号屋子的宾客换到 3 号屋子 …… 依该类推，每一个屋子的宾客都换到后一个屋子下榻，那么这个堆栈的 1 号屋子就又不妨再住进新的宾客 —— 这就爆发了一个悖论：由于不生存最大的数，以是这个堆栈的 1 号屋子老是不妨住进新的宾客，而且保护每部分都有住的场合。

因为如许的悖论的生存，咱们在物理情境下运用“无穷”观念的功夫要特殊提防无穷的生存 。“偶尔当人们辩论无穷时，她们本来指的是一个特殊特殊大的数。她们本质上是把‘无穷’动作这个特殊大的数的一种切口。这种情景下，估计一下这个特殊大的数是几何，而且只辩论这个大数而不是无穷，会更有便宜。有功夫人们辩论无穷，本来是指它的深层含意 —— 会爆发悖论的那种含意。即使一个物道学论据或其余表明依附于如许冲突的按照，那它即是一个缺点的论据，而且该当被其余更真实的论据代替。”

总之，对于物理寰球中无穷的生存性之争尚无定论无穷的生存 。在不足简直的科学回答的情景下，探求形而上学的扶助便在道理之中。“要害的是让物道学家和形而上学家在一道交谈”，阿吉雷说，“我的很多物道学家共事都对形而上学家有一种回忆 —— 觉得她们基础不领会物道学，她们在辩论、指摘物道学，但她们却对物道学却不甚领会。大概往日有些形而上学家是如许，此刻有些形而上学家也是如许。但和我交谈计划的形而上学家们真实是真的领会物道学。我把她们视为推敲那些基础题目的大师。比拟于更目标于体味主义和适用主义的物道学家来说，她们不妨从更大的和各别的视角来对于这个题目。这一点利害常难能宝贵的。”

以次是正文的精粹指摘

指摘一

对于无穷的实质：从平头说起 ……

这是个特殊深沉和平静的题目无穷的生存 。对于无穷，有形形色色基础题目须要处置，个中的一局部大概无助于于证明对于无穷的更深档次的本质。

举个大略的例子，比方平头无穷的生存 。动作一个简单实业，它必然囊括了“一切的平头”。这边须要提防，这是对一类具备某一一定本质的数的一致汇合的一种刻画办法。在这种简单实业的“平头”的观念下，从外部（即把“平头”视为一个完全）是不生存不妨辨别出单个数字的一定构造的。这是无穷的不行计划实质。

这也恰是这类无穷悖论的泉源地方无穷的生存 。即使一切的平头都有了，那么这个构造就完备了，它就变成动作完全的一切平头的一种本质，就像类维度的域一律。以是一上面来说，咱们有一个一致的无穷域，一个无穷的简单实业。在这个域中，惟有一切独立的的平头被看作一体时，这个无穷才是一致的。另一上面，把“平头”的实质看作独立的一个个平头，那些平头的数目是无穷多。如许就又展示了悖论。风趣的是，在这种无穷的看法可见，犹如生存着一致“波粒二象性”的悖论。

希尔伯特堆栈是对“无穷”的边境的另一种证明无穷的生存 。这种证明鉴于“无穷”里面的基础构成局部。它假设没有对巨细的控制，以是咱们不妨无穷制地增大平头 —— 这是一个不决定性的、无穷的边境的限制视图。“类维度”的视角则是把平头的无穷看作是一切平头的一个完备的、恒定的、没辙计划的属性。

之上我所给出的对于平头无穷性的刻画创作出了一种风趣的看法无穷的生存 。动作类维度实业的平头的无穷本质代办了一种状况的变换 —— 从单个平头的视角变化为动作一致完全的平头的视角。这种无穷指代平头的本质，所以是没辙计数的实业。动作单个数的平头却是可数的，纵然是无穷的。

指摘二

守恒定理与 0 的联系

能量守恒定理报告咱们，能量不许被创生，也不许被祛除无穷的生存 。以是即日生存的能量并不是被创作出来的，也不会被祛除。它只会经过熵连接衍化。能量守恒与 0 的联系在于于咱们对 0 的设置。即使 0 表白“无”，即什么也没有，那它是没辙在咱们的现什物理寰球生存的。由于咱们没辙在一个惟有如实生存的实业的寰球里察看妥协释“无”。咱们也领会，空间自己是在伸展的，一切咱们不妨探测到的能量都在疏通，以是它们老是有大于0的值。

当咱们将 0 值付与实际生存中的某个物体时，它就不复生存无穷的生存 。一个品质为 0 的物体具备 0 能量，即它是没有能量的。它不会与光量子爆发彼此效率，由于它没有内禀属性 —— 没有疏通，没有与光的彼此效率，没有正、阴电荷，以至没有电中性 …… 换句话说，它自己并不生存。

1-1=0 是为了对不生存的物体举行数值上的丈量而提出的一种明显的观念无穷的生存 。即使某物不生存，而且咱们没辙丈量有几何该物不生存，则咱们觉得该物的值为 0。对于物资的究竟是，不管咱们说咱们没有多小批的某物，本质上海市总工会仍旧有少许的 —— 大概按数学上的讲法，某物的量大于0。

指摘三

0无穷的生存 ，无穷，以及其余

对于上一位介入者全力探求的无穷和 0 之间的接洽我特殊赞许无穷的生存 。这两个标记有一个共通的特性，它们都被用来指代某一数目，但本来并不是如许。只有咱们不承诺那必定的和蓄意尴尬人的冲突烦恼和嘲笑咱们，就像它们对康托尔（Cantor）做的那么，这本来并不确定即是个辣手的困难。

正如，隐姓埋名者不是名字、四海为家不是地方、无党籍是不算是党籍，0 和无穷也不许算是一种数目无穷的生存 。有功夫咱们大概须要把上述那些词记下来，诉求旁人供给那些条手段消息。咱们大略地否认了那些乞求赖以生存的假如，所以也就否认了按原样回复它们的大概性。一致地，对于“你收入几何？”的回复“ 0 ”，对于“我要干多久？”大概“有什么控制？”的回复“无穷期（没有控制）”，如许的回复并不是赋予定量化的回复，而是一种含有中断表示的回复。

在该网站的其余计划“天然规则”这一致念的场合，我觉得这一表述自己也包括了蓄意激励的冲突无穷的生存 。纵然是风趣风趣的冲突化装法也不会由于它的字面意旨而使咱们感触迷惑，由于它本来暗含着差异的含意，大概说它外表所指代的实物的不生存性 —— 这大约是一条规则。

文中，乔治 ・埃利斯说，“即使一个物道学论据或其余的表明依附于这种悖论式的论据（比方希尔伯特的堆栈），那它即是一个缺点的论据，而且该当被其余更有理的论据代替无穷的生存 。”我倡导（去探求）悖论展示的第一个场合。

指摘四

奇点、无穷密度、无穷高的温度无穷的生存 ？？

我不是物道学家，更像是一个神奇主义者和化学家，当我听到有人把奇点刻画为具备无穷高的温度和密度的物体时，我想，这如何大概无穷的生存 。大概她们不过指胜过咱们生人有限体味的更加高的温度和密度。其余，大概是不关系的货色，我传闻即使一部分沿着一条曲线在世界中进步，他结果会回到开始。即使这是真的，那么当一个奇点爆裂的功夫，一发端一切的能量都沿曲线放射出去。这是否表示着总有一天，世界中一切的物资城市归来万物发源的奇点？而后是这一进程的无穷轮回。

指摘五

有效的怪物

“对数学家而言，无穷不过大略的一个没有控制的数无穷的生存 。但对物道学家而言，无穷却利害常恐怖的怪物。”加来道雄熏陶（谁人有个长长的银灰头发的人）在由黑洞的张量方程导出无穷的功夫说道。当距黑洞重心的隔绝为 0 时，无穷就会展示。“它表示着吸力在黑洞重心是无穷大的。在这边功夫遏止，空间遗失了意旨。它表示着咱们对于物理世界的十足看法都崩塌了。在实际寰球中是不生存如许的无穷的。以是在爱因斯坦表面的公式中生存一个根天性的缺点。”（来自 BBC 记录片 “Who’s afraid of a big black hole”, Horizon, YouTube）

无穷的不大概性证明了对立论的重心命题，并使其变成大概 —— 不大概给一个有品质的物体加快，使得它的速率到达光速无穷的生存 。以是，它也算是一个有点用的怪物啦。

丹尼尔・法桥（Daniele Faccio）正安排在赫瑞瓦特大学大学他的试验室中创造一个迷你黑洞无穷的生存 。这个场合是一切前沿物道学的安身之处。（来自“Strip the cosmos: Black Holes”，YouTube）

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